Определение площади многоугольника по периметру

Как рассчитать площадь фигуры неправильной формы?

Определение площади многоугольника по периметру

Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

Стороны и диагонали

Название стороны или диагонали

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: ? EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ?;50.5

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Площади неправильных фигур.

Площади неправильных плоских фигур можно приблизительно определить, используя планиметр, формулу трапеций, правило средних ординат, формулу Симпсона.

Подобные методы могут быть использованы, например, инженерами для оценки площадей индикаторных диаграмм паровых двигателей, землемерами для оценки площадей земельных участков, кораблестроителями для оценки горизонтальных или поперечных сечений кораблей.

Планиметр.

Это инструмент для непосредственного измерения малых площадей, очерченных неправильной кривой.

Формула трапеций.

Чтобы определить площадь PQRS на рис. выше , необходимо:

— Разделить PS на любое число равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Аккуратно измерить ординаты у1, у2, у3 и так далее.

-Площадь SPQRS = d

В общем, согласно формуле трапеций: Площадь = (ширина интервала).

Правило средних ординат.

Чтобы определить площадь ABCD на рис. выше, необходимо:

— Разделить основание AD на любое количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Восстановить перпендикуляр из середины каждого интервала (на рис. выше оказаны штриховыми линиями).

-Точно измерить ординаты у1, у2, у3 и так далее.

— Площадь SABCD = d(у1 +у2+у3+ у4+у5+у6)

В общем виде, правило средних ординат гласит: Площадь = (ширина интервала)*(сумма средних ординат).

Формула Симпсона .

Чтобы определить площадь PQRS на рис.выше, необходимо:

— Разделить основание PS на четное количество равных интервалов шириной d каждый (чем больше количество интервалов, тем выше точность).

— Точно измерить ординаты у1, у2, у3 и так далее.

— Площадь SPQRS = (d/3)*

В общем виде, формула Симпсона: Площадь = 1/3(ширина интервала).

Пример. Определение площади под кривой с помощью формулы трапеций, правила средних ординат, формулы Симпсона.

Машина стартует из состояния покоя, и ее скорость измеряется каждую секунду в течение 6 секунд:

Время t0123456
Скорость v03,06,09,1513,518,525,0

Хотя мы понимаем что увеличение числа разбиений увеличивает точность, но для простоты решения возьмем количество разбиений, равное 7.

Определить расстояние, пройденное за 6 секунд (т.е. площадь под графиком):

а) по формуле трапеций, б) по правилу средних ординат, в)по формуле Симпсона.

а) Формула трапеций.

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой

S= 1=62,65 м

б) Правило средних ординат.

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с. На рис. пунктирной линией показаны средние ординаты. Измерена каждая средняя ордината. Итак, площадь S определяется формулой

S= 1(1,5 +4,5+7,75+11,75+16+21,5)=63 м

в) Формула Симпсона .

Время на графике делится на 6 интервалов шириной 1 с и измеряются ординаты. Итак, площадь S определяется формулой:

S= (1/3)*= 61,2 м.

Т.е. машина проехала в среднем 62,283 м.

Оценка статьи:

(

из 5)

Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольника

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь прямоугольника.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади прямоугольника, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади прямоугольника

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения!

Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади прямоугольника

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

где S — площадь прямоугольника,

a — длина первой стороны,

b — длина второй стороны.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Вычисляет площадь неправильного четырехугольника с известными длинами сторон

С завидным упорством некоторые пользователи Planetcalc оставляют запросы на создание калькулятора для расчета площади неправильного четырехугольника, для которого известны только длины сторон.

Площадь участка сложной формы

Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор. (Нажмите кнопку «Остановить» для определения площади понравившегося Вам четырехугольника с заданными Вами сторонами).

Длина стороны A

Длина стороны B

Длина стороны C

Длина стороны D

Площадь неправильного четырехугольника, зная только длины сторон, вычислить нельзя. Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор.

Зачем нужно знать площадь полаОпределение площади прямоугольного помещенияРасчет площади комнаты неправильной планировкиУзнаём площадь треугольного помещенияКак рассчитать площадь стен комнатыКак рассчитать площадь стен комнаты

Пропорции между площадью пола и окон

Невозможно проводить ремонт напольной поверхности, не зная точную площадь пола в частном домовладении или квартире.

Дело в том, что сегодня стоимость строительных материалов достаточно высокая, и каждый владелец недвижимости старается максимально сэкономить на их покупке.

Поэтому информация, как рассчитать площадь пола, не будет лишней для того, кто предпочитает делать ремонт собственноручно.

Зачем нужно знать площадь пола

Прежде чем приступить к работе, следует определиться с объемом мероприятий, запланировать затраты и рассчитать количество стройматериалов. Для этого нужны будут исходные данные. По этой причине важно знать, как посчитать площадь пола безошибочно. Особенно это касается неровных поверхностей и помещений, имеющих нестандартную планировку.

Встречаются и другие причины, когда имеется потребность точно определить размеры поверхности пола:

  • проверка качества выполнения строительных работ;
  • необходимость проведения перепланировки помещения.

В данной статье рассказывается, как посчитать площадь пола в квадратных метрах в комнатах, имеющих разную конфигурацию.

Определение площади прямоугольного помещения

До того, как высчитать площадь пола, следует запастись калькулятором и измерительной рулеткой. Чаще всего встречаются комнаты в форме прямоугольника. Для вычисления их площади пользуются формулой, известной всем со школы: S = a х b, где a и b – длина и ширина. Например, у помещения параметры 3 и 4 метра, тогда искомая величина составит 12 кв. м.

В том случае, когда в комнате имеется камин или встроенные предметы мебели, тогда нужно узнать их площадь и вычесть из общей площади. В случае проведения капитального ремонта пола, все лишнее в помещении придется демонтировать.

Расчет площади комнаты неправильной планировки

Намного труднее вычислить площадь комнаты, имеющей многоугольную форму. Часто в кирпичных домах в планировке присутствуют ниши, треугольные углубления и округлые элементы, как на фото.

В данном случае, прежде, как посчитать квадратуру пола, схему помещения надо разбить на отдельные зоны. Например, если комната имеет Г-образную планировку, ее следует поделить на 2 прямоугольника, после чего подсчитать площадь каждого из них и полученные результаты сложить.

Узнаём площадь треугольного помещения

Когда другая часть комнаты располагается не перпендикулярно относительно основной площади, это означает, что между двумя прямоугольниками присутствует еще и треугольник, имеющий прямой угол.

В данном случае площадь треугольника вычисляют по формуле: S = (a х b):2 и прибавляют к общему итогу. Например, а = 2, b = 3, тогда S = (2х3): 2 =3 м².

Можно иначе определить площадь:

  1. Прежде вычисляют квадрату прямоугольника.
  2. Определяют площадь скошенного треугольного угла.
  3. Из квадратуры прямоугольника вычитают площадь треугольника.

В том случае, когда треугольник не имеет прямого угла, тогда используют формулу Герона S = √p(p — a)(p — b)(p — c).

Например, стороны его равны 5, 6 и 7 метров, тогда вычисления производят следующим образом:

  1. Узнают полупериметр треугольника p = (5+6+7):2 = 9.
  2. В формулу Герона подставляют цифровые значения и получают результат: √(9 х(9-7) х(9-6)х(9-5) =14,7 м².

Квадратура помещений округлой формы

Нередко подобная форма присутствует у окон в домах старой постройки или на балконах, которые совмещены с комнатами. Сначала вычисляют 1/2 выступающей части окружности и добавляют к площади прямоугольника, применяя формулу S = πR²:2, в которой:

π = 3.14;

R² – радиус круга, возведенный в квадрат.

Источник: https://otoplenie-help.ru/kak-rasschitat-ploschad-figury-nepravil-noy-formy.html

Площадь многоугольника непраивльного

Определение площади многоугольника по периметру

Затем измерьте и запишите в строгой последовательности длины всех отрезков. Аналогичным образом измерьте и стороны самого многоугольника, натянув бечевку между соседними вершинами.

4 Чтобы воспользоваться формулой Герона, сначала посчитайте полупериметр каждого треугольника по формуле: р = ½ * (а + b + с), где:а, b и c – длины сторон треугольника,р – полупериметр (стандартное обозначение).

Определив полупериметр треугольника, подставьте полученное число в следующую формулу: S∆ = √(р*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где:S∆ – площадь треугольника. 5 Если многоугольник выпуклый, т.е.

Как узнать площадь многоугольника?

Для расчета задайте длину, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Площадь многоугольника неправильного

Расчет площади Многоугольника, используя радиус вписанного круга и длину стороны:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = side/(2×Tan(π/N)) ] Введите длину = Введите кол-во сторон = Площадь Многоугольника = Расчет площади по длине стороны:Площадь Многоугольника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))Периметр Многоугольника = N * (side) Расчет площади по радиусу описанной окружности :Площадь Многоугольника = ½ * R² * Sin(2π / N) Расчет площади по радиусу вписанного круга :Площадь Многоугольника = A² * N * Tan(π / N)где, A = R * Cos(π / N) По радиусу вписанного круга и длине стороны :Площадь Многоугольника = (A * P) / 2где A = сторона / (2 * Tan(π / N))где,

  • N = Количество сторон,
  • A = Радиус вписанного круга,
  • R = Радиус описанной окрудности,
  • P = Периметр

Примеры: Задача 1: Найдите площадь и периметр многоугольника, если длина стороны = 2 и количество сторон = 4.

Площадь неправильного многоугольника калькулятор

Шаг 1: Найдем площадь.Площадь = ((длина стороны)² * N) / (4Tan(π / N))= ((2)² * 4) / (4 * Tan(3.14 / 4))= (4 * 4) / 4 * Tan(0.785)= 16 / 4 * 0.999= 16 / 3.996Площадь = 4. Шаг 2: Найдем периметр.Периметр = (N * (длина стороны) = 4 * 2 = 8 Задача 2: Найдите площадь и периметр многоугольника, если радиус описанной окружности = 2, количество сторон многоугольника = 5.

Как посчитать площадь многоугольника

На нашем сайте пользователи инж енеров в обл асти ф изики, химической, электрической, эле ктроника, Строительство и гражданских, оптики и лазерн ой, механической, финансов, нефти и газа, структурных и т.

Площадь неправильного многоугольника через периметр

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.

о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.
Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.

Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника.

Площадь многоугольника

  • Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
  • Подставим полученные результаты в нашу формулу:
  • Площадь = 1/2*периметр*апофему Площадь = ½*60см*5√3 Решаем: Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах: ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см² о том, как найти площадь правильного шестиугольника Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:
  • Метод трапеции.
  • Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
  • Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Площадь неправильного многоугольника по сторонам онлайн

Этот показатель обязательно присутствует в перечне параметров участка, зафиксированных в ЕГРН.

Онлайн калькулятор поможет вам быстро и правильно определить число и величину правильного многоугольника, размер его внешнего и внутреннего углов, а также другие показатели.

Расчет неправильного онлайн калькулятор Про треугольники с ломаной гипотенузойУже в который раз люди задают этот вопрос и снова и снова выбирают НЕПРАВИЛЬНЫЙ ответ. Просто смешно уже становится.

Наименование ар, знакомое всем по учебникам математики, в последнее время практически не используется, хотя и означает такую же меру площади: 100м².

Вопрос о правильном расчете размера своей земли волнует многих владельцев и особенно актуальным он становится при или в случаях, когда владелец хочет «прирезать» к своей земле соседние участки.

Площадь неправильного многоугольника по координатам

Но как произвести расчет, если участок неправильной формы? В этом случае лучше всего воспользоваться онлайн-калькулятором.

Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему, обращайтесь через форму онлайн-консультанта или звоните по телефонам:

  • Москва: +7(499)350-8059.
  • Санкт-Петербург: +7(812)309-9401.

Зная площадь, вычислить, сколько аров или соток она составляет – просто. Мы уже выяснили, что сотка равна ста квадратным метрам, то есть 600 квадратов – это шесть соток.
Мы просто разделили полученную площадь на сто.

В первом случае при расчете используются результаты полевых измерений координат или длин границ участка, во втором случае используются данные, полученные с плана участка, в третьем случае используется специальный прибор – планиметр.

Площадь неправильного многоугольника 4 класс

Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках.

Внимание Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула.

Источник: https://potrebiteli34.ru/ploshhad-mnogougolnika-nepraivlnogo

Периметр и площадь многоугольника

Определение площади многоугольника по периметру

Тема: Периметр и площадь многоугольника.

Цели:

  1. закреплять умение находить периметр и площадь квадрата и прямоугольника; периметр треугольника; умение применять единицы длины в решении задач;

  2. развивать конструктивные навыки, творческие способности, воображение;

  3. воспитывать аккуратность, чувство взаимоподдержки и выручки.

Оборудование: проектор, ноутбук, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

Долгожданный дан звонок,Начинается урокТут строительство пойдет,Задачи, площадь, игрыПриготовлены для вас

Пожелаю в добрый час.

II. Работа в тетради. Запись числа.

III. Формирование темы, задач урока.

М2 СМ ДМ2 КГ ММ КМ ДМ СМ2

– Что вы заметили интересного?

(Это единицы длины, площади. Их можно разделить на две группы)

– Какая единица лишняя? (кг)

Запишите единицы площади в порядке возрастания, а единицы длины в порядке убывания.

– Так какую тему мы будем закреплять на уроке?

IV. Работа по теме.

– А вы заметили на чем записаны единицы площади и длины?

(На геометрических фигурах)

А раз это геометрические фигуры, значит это страна Геометрия.

– Что вы знаете про геометрию? Про её жителей?

– Для чего надо знать их? Каким профессиям необходимы эти знания? Инженерам, архитекторам, строителям, конструкторам.

– Вот и мы на уроке будем конструкторами. Наш кабинет назовём – конструкторское бюро. А конструктору без математики никак нельзя.

В любом бюро есть таблицы-помощники :

Р =(а + в) х 2, Р= а х 4, S = а х в. S = а х а.

При работе они нам помогут.

– Какой праздник вы ждете с нетерпением? (Новый год)

– А кого вы хотите увидеть в первую очередь? (Деда Мороза)

– А где он живет? (в Великом Устюге)

– Давайте вместе с вами построим дом Деду Морозу.

Работать будем в парах. Работа в паре – это работа двух человек вместе, дружно. Детали лежат у вас на столе.

– Чтобы построить дом, надо выполнять правильные расчёты. Листком расчёта будет служить наша тетрадь.

С чего начинается строительство дома?

– Что такое фундамент?

Отгадай те загадку, которая вам поможет выбрать нужную фигуру.

Хоть углы мои прямые,Я, ребята, не квадрат.Если вы меня узнали,

Буду очень – очень рад.

– Какой формы фундамент? Выберите фигуру, напоминающую его? Покажите.

– Какие данные необходимы, чтобы найти его площадь?

– Измерьте длину и ширину и занесите данные в листок расчёта. Какой формулой воспользуемся.

(8+2)х 2 = 20 (см)

Будем возводить стены дома. Чтобы узнать, какую форму имеет фасадная сторона дома, внимательно послушайте геометрическую загадку:

Он давно знакомый мой,Каждый угол в нём прямой,Все четыре стороныОдинаковой длины.Вам его представить рад.

Как зовут его?

– Но у нас на столе прямоугольники. Как из прямоугольника (6 х 12) получить квадрат разными способами?

– Какой способ быстрее? Выполнили. Разрезали ножницами.

(Вспомнить т/б обращения с ножницами)

– У вас получились 2 квадрата. Работаем с одним из них.

Измерить сторону. Занести данные в листок расчёта. Прикрепить фигуру аккуратно к фундаменту.

– Могу ли я сравнить площадь фундамента и стены?

Поставьте вопрос. Выберите действие для сравнения. Запишите вычисления. Какой дадите ответ?

6 х 6 = 36 (см2)

V. Физминутка «Красный, жёлтый, зелёный».

Учитель поднимает зелёный круг, дети шагают на месте; Жёлтый круг – дети хлопают в ладоши, Когда красный – приседают.

VI. Продолжение работы.

Чтобы узнать, какую форму будет иметь дверь, предлагаю игру «Узнай меня»

Я – многоугольник, у меня 4 стороны, но равны только противоположные, углы – прямые.

Площадь двери.

Возьмите прямоугольник. Что он вам напоминает из ранее сделанного?

Дверь составляет половину этой фигуры. Как получить? (согнуть, разрезать) Расположите дверь правильно.

Как более рациональным способом можно узнать площадь двери?

Какой наш будет следующий шаг? (окна)

Посмотрите на оставшийся прямоугольник. Сколько окон получится?

Д/з: Дома вычислить площадь окна и двери.

Строительство дома завершается крышей.

– Какой формы она бывает?

Пусть крыша нашего дома будет треугольно. Но на столах только квадрат, равный по площади фасадной стороны дома. Как быть? Вспомним «волшебные секреты» превращения квадрата в треугольник. Что нам поможет?

Мы умеем находить S у квадрата, прямоугольника. А сможем ли мы найти площадь полученного треугольника? как? Выполнить вычисления.

Вот и готов наш дом.

– Дед Мороз живет в лесу, послушайте задачу про его сказочный лес:

В густом лесу за 30 лет елка вырастает на 23 дм, а на опушке за то еже время на 10 м. На сколько елка выше на опушке, чем в чаще?

– В лесу Деда Мороза водится много разных зверей, послушайте задачу про одного из них.

Лось слышит по запаху охотника на расстоянии 500 м, а на слух в 2 раза дальше. На каком расстоянии лось слышит ухом охотника?

VII. Творческая работа (индивидуальная).

– Дом Деда Мороза мы построили. В каких единицах измеряли площади наших фигур? А теперь подумайте, как разукрасить дом, добавьте свои детали.

VIII. Итог.

– Вспомните тему урока. Какие знания, умения и навыки пригодились?

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/pierimietr_i_ploshchad_mnoghoughol_nika

Правильные многоугольники

Определение площади многоугольника по периметру

О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Многоугольники

      Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

      Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

      Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

      Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

      Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

      Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольникаСторона правильного многоугольникаРадиус вписанной окружностиРадиус описанной окружностиПериметрПлощадь
narRPS
Число вершин правильного многоугольника  n  
Сторона правильного многоугольника  a  
Радиус вписанной окружности  r  
Радиус описанной окружности  R  
Периметр  P  
Площадь  S  

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = anВыражение периметра через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через сторону
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного n – угольника
Выражение периметра через сторонуP = anВыражение периметра через радиус вписанной окружностиВыражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади правильного n – угольника
Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружностиВыражение площади через сторонуВыражение площади через радиус вписанной окружностиВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для стороны правильного n – угольника
Выражение стороны через радиус вписанной окружностиВыражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 3aВыражение периметра через сторону
ПлощадьПосмотреть вывод формулыВыражение площади через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьПосмотреть вывод формулыВыражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьПосмотреть вывод формулыВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного треугольника
Выражение периметра через сторонуP = 3aВыражение периметра через радиус вписанной окружностиВыражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади правильного треугольника
Выражение площади через сторонуПосмотреть вывод формулыВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружностиВыражение площади через радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулыВыражение площади через радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
Формулы для стороны правильного треугольника
Выражение стороны через радиус вписанной окружностиВыражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 6aВыражение периметра через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону
ПлощадьS = 3arВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус вписанной окружности
Сторонаa = RВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрP = 6RВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного шестиугольника
Выражение периметра через сторонуP = 6aВыражение периметра через радиус вписанной окружностиВыражение периметра через радиус описанной окружностиP = 6R
Формулы для площади правильного шестиугольника
Выражение площади через сторонВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружностиS = 3arВыражение площади через радиус вписанной окружностиВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для стороны правильного шестиугольника
Выражение стороны через радиус вписанной окружностиВыражение стороны через радиус описанной окружностиa = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 4aВыражение периметра через сторону
ПлощадьS = a2Выражение площади через сторону
Сторонаa = 2rВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрP = 8rВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьS = 4r2Выражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьS = 2R2Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра квадрата
Выражение периметра через сторонуP = 4aВыражение периметра через радиус вписанной окружностиP = 8rВыражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади квадрата
Выражение площади через сторонуS = a2Выражение площади через радиус вписанной окружностиS = 4r2Выражение площади через радиус описанной окружностиS = 2R2
Формулы для стороны квадрата
Выражение стороны через радиус вписанной окружностиa = 2rВыражение стороны через радиус описанной окружности

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/regular.htm

Площадь многоугольника

Определение площади многоугольника по периметру

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка – длиной.

Теорема.Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» – численное значение длины отрезка.

Доказательство. Если F – данный прямоугольник, а числа a, b – длины его сторон, то S(F) = a ∙ b. Докажем это.

Пусть а и b – натуральные числа. Тогда прямо­угольник F можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е Å Е Å Е Å … Å Е. Всего их а∙b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда S(F)=S(E)+S(E)+…+S(E)=a∙b∙S(E) = a∙b

Пусть теперь a и b – положительные рациональные числа: а = , b = , где m, n, p, q – натуральные числа.

Приведем данные дроби к общему знаменателю: а = , b = . Разобьем сторону единичного квадрата Е на nq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq)2 более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е)=(пq)2∙S(E1), а по­скольку S(Е)=1, то S(E1)=

Так как а= , b= , то отрезок длиной укладывается на стороне a точно mq раз, а на стороне b – точно пр раз. Поэтому дан­ный прямоугольник F будет состоять из mq ∙ np квадратов Е1. Следо­вательно,

S(F)=mq∙np∙S(E1)=mq∙np∙ = = =a∙b

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то пло­щадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(Р)=а∙b.

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются поло­жительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Теорема.Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Пусть АВСD – параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) =S(АВСD) + S(СDЕ).

Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(ВСЕF) + S(АВF).

Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС∙ВF, а так как ВС = АD, то S(АВСD) = АD∙ВF.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема.Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь правильного многоугольника – S, то, согласно данной теореме, S= Р∙r.

Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на п треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности (рис.5). Эти

треугольники равны. Площадь каждого из них равна ∙r, где аn – сторона правильного n-угольника. Тогда площадь многоугольника равна ∙r∙n, но an∙n=Р. Следовательно, S=

Если F произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади).

В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли получен­ные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказа­но, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники F1 и F2 называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм АВСD и прямоугольник FВСЕ (рис. 4), так как параллелограмм состоит из фигур F1 и F2, а прямоугольник – из фигур F2 и F3, причем F1 = F3.

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равно­велики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем мате­матики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равно­великий ему прямоугольник.

Пусть дан треугольник АВС (рис. 6). Проведем в нем высоту BD и среднюю линию KL. Построим прямоугольник, одной стороной которо­го является АС, a другая лежит на прямой KL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.

5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение

Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?

Пусть F – произвольная плоская фигура.

В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия; существуют многоугольные фигуры, которые содержат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих многоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке 7 показано, что фигура Q содержит фигуру Р, т.е. Q, – объемлющая фигура, а фигура Р содержится в F, т.е. Р – входящая фигура. На теоретико-множественном языке это означает, что и, следовательно, можно запи­сать, что .

Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству для любых многоугольных фигур P и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.

Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг F радиуса r вписы­вают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n-угольник Q.

Если обозначить символами S(Q) и S(P) площади этих многоугольников, то будем иметь, что , причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных много­угольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.

Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности , а площадь – к площади круга. Поэтому Sкр = = r 2.

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы в частности, палетку.

Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F.

Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 8).

Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:

S(F) = .

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Нетрудно обосновать эти действия. Пусть m – число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а n – число квадратов, через которые проходит контур фигуры F. Тогда S(Р) = m, а S(Q) = m + n.

И значит, S(F) = = =

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.

Источник: https://studopedia.su/14_160822_ploshchad-mnogougolnika.html

Императив
Добавить комментарий